K čemu mi někdy bude... 1. - Komplexní čísla

16. 05. 2013 14:51:19
V posledních dnech se vcelku diskutovaným tématem stala státní maturita z matematiky. Není divu, poměrně velké procento studentů u ní pohořelo. Čím je to způsobeno? V první řadě přirozeně tím, že středoškoláci matematice moc nerozumí a většina v ní nevidí žádný smysl. Ptají se (nutno dodat, že oprávněně): "K čemu mi tohle v životě bude?" Učitel mnohdy sám neví a jen krčí rameny. Proto jsem se rozhodl začít psát tento nepravidelný blogový seriál, abych dal studentům, rodičům i učitelům alespoň malý přehled o tom, jaké jsou praktické aplikace jednotlivých oblastí středoškolské matematiky. Dnes se podíváme na komplexní čísla.

Nejprve něco málo o historii číselných oborů. Na úplném začátku stála čísla 1, 2, 3 atd., kterým dnes říkáme přirozená. Jejich účel byl jasný - popsat, kolik vojáků má nepřítel nebo kolik kusů dobytka se mi letos narodilo. Pak přišly zlomky s cílem označit nějakou poměrnou část celku - polovinu majetku, desetinu válečné kořisti nebo pětinu úrody. Těmto číslům se dnes říká racionální. Toto všechno bylo velice přirozené. Komplikace přišly, když se někdo pokusil spočítat délku úhlopříčky ve čtverci. Dnes víme, že je to délka strany krát odmocnina ze dvou, ale tehdy lidé znali nanejvýš zlomky. Po mnoha a mnoha letech se ukázalo,že dosavadní znalosti na tento úkol nestačí a že na řešení některých geometrických úloh potřebujeme zavést iracionální čísla. Všem těmto číslům dohromady dnes říkáme reálná. Potřeba komplexních čísel vznikla stejně přirozenou cestou, jako u ostatních čísel. Ukázalo se, že některé typy úloh nemají řešení, konkrétně pak kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Byla proto zavedena imaginární jednotka, kterou si můžeme představovat jako odmocninu z mínus jedné.

Když se řekne imaginární část, často je to chápáno jako neexistující, smyšlená část čísla. To však není tak úplně pravda - imaginární (resp. komplexní) čísla se s výhodou používají při popisu skutečných dějů. Například v elektronice - napětí a impedance ve střídavých obvodech jsou velice důležité komplexní veličiny, bez kterých prakticky nemůžete se střídavými obvody nějak efektivně pracovat. To znamená, že téměř každý kousek elektroniky, kterou si doma zapojíte do zásuvky, musel nejprve navrhnout a sestrojit někdo, kdo byl dobře seznámen s komplexními čísly. Tytéž znalosti se vám budou hodit, pokud se rozhodnete stát se domácím kutilem a něco si sám doma vyrobit či upravit.

Komplexní čísla mají také jednu velice důležitou geometrickou vlastnost. Představte si rovinu, kde jedna souřadnice popisuje reálnou část čísla a druhá komplexní část čísla. Když vezmete nějaké číslo (resp. bod) v této rovině a vynásobíte ho kladným reálným číslem, budete měnit jeho vzdálenost od počátku souřadnic. Když ho vynásobíte záporným číslem, tak ho navíc ještě překlopíte na druhou stranu. Co se ale stane, pokud ho vynásobíte komplexním číslem? Otočí se kolem středu o nějaký úhel, jehož velikost závisí na tom, jakým číslem násobíte. Dokud máte několik málo bodů a kružítko v ruce, pak zvládnete nějakou rotaci snadno narýsovat sami. Když ale máte například na počítači otevřený nějaký grafický editor a chcete pootočit celý obrázek, je nutné, aby počítač nějakým způsobem přepočítal nové souřadnice pro každý bod daného obrázku. Vynásobení komplexním číslem je ta nejjednodušší a nejpřirozenější varianta, jak to udělat. Takže ano, pro programátora je znalost komplexních čísel také velice užitečná.

Pomocí komplexních čísel je možné popisovat i rotace v prostoru. Je to podstatně složitější a neobejdete se zde bez znalosti maticového počtu, takže zde raději nebudu vysvětlovat princip. Nicméně až budete příště hrát svoji oblíbenou 3D střílečku, můžete si vzpomenout, že každé vaše ohlédnutí za záda či nakouknutí za roh je ve skutečnosti zase nějaké násobení komplexních čísel.

Kdo dále používá komplexní čísla? Třeba kdokoli, kdo má něco společného s navrhováním reproduktorů či jiných zvukových zařízení. Lidé, kteří sestrojují solární panely. Fyzici, zabývající se kvantovou mechanikou či mechanikou kapalin. Architekti a inženýři, kteří pracují s prutovými konstrukcemi. Mnoho dalších aplikací nalezneme i v geometrii, například při generování frakálů.

Netvrdím, že komplexní čísla bude v životě potřebovat každý. Nicméně jejich využití v technických oborech je velice široké a rozhodně nejde o nějakou hloupost, kterou by se středoškoláci učili zcela zbytečně.

Autor: Pavel Zoubek | čtvrtek 16.5.2013 14:51 | karma článku: 32.33 | přečteno: 5651x

Další články blogera

Tato rubrika neobsahuje žádné články...

Další články z rubriky Věda

Jan Mestan

Iniciace spontánního uvolnění uložené relaxační energie stlačené koule táním ledu

Ukážeme si příklad experimentu, který znázorňuje způsob rozepnutí koule po roztání jejího ledového obalu. V prvním kroku je uložena relaxační energie stlačením koule, v dalším kroku je energie uchována ledovým obalem.

22.3.2019 v 19:03 | Karma článku: 7.27 | Přečteno: 132 | Diskuse

Libor Čermák

Co když už byla objevena "temná hvězda" z Ikarie XB 1?

Tento týden jsem se po nějaké době opět podíval na český scififilm "Ikarie XB 1", který dávali na CS filmu. Tam posádka lodi prolétá na cestě k Alfa Centauri kolem jakési temné hvězdy. Co když tam tato hvězda skutečně existuje?

22.3.2019 v 8:52 | Karma článku: 13.51 | Přečteno: 378 |

Jan Veselý

Proč nejsou Velikonoce už tento víkend?

aneb Několik kalendářních omylů. První neděle po prvním jarním úplňku má být podle definice velikonoční. Astronomické jaro letos začalo 20. března a hned 21. března byl úplněk. Proč tedy nejsou Velikonoce už teď?

21.3.2019 v 17:30 | Karma článku: 27.21 | Přečteno: 1165 | Diskuse

Libor Čermák

Vznikla dánská vlajka na základě setkání s UFO?

Když vznikalo Československo, dlouho se diskutovalo, jakou bude mít vlajku. Ovšem vlajky některých jiných států to měly jednodušší, protože vznikly na základě legend a pověstí. Například dánská vlajka prý vznikla přímo na obloze.

21.3.2019 v 8:53 | Karma článku: 13.36 | Přečteno: 443 |

Dana Tenzler

Jak škodí radioaktivita? O všem rozhoduje dávka.

K tomuto blogu mě inspirovala klasická věta “Dostal tak vysokou dávku radioaktivity, že z toho až dostal rakovinu.” Je totiž nesprávná. Když někdo dostane obří dávku ionizujícího záření - rakovina je jeho poslední starost.

21.3.2019 v 8:00 | Karma článku: 16.85 | Přečteno: 397 | Diskuse
Počet článků 9 Celková karma 0.00 Průměrná čtenost 1840

Jsem vývojář webových aplikací, matematik, skeptik, filosof, obhájce feminismu a lidských práv. Tedy slovy někoho jiného asociál, podivín, zmanipulovaná ovce, žvanil, podpantoflák a sluníčkář.

Najdete na iDNES.cz