K čemu mi někdy bude... 1. - Komplexní čísla

16. 05. 2013 14:51:19
V posledních dnech se vcelku diskutovaným tématem stala státní maturita z matematiky. Není divu, poměrně velké procento studentů u ní pohořelo. Čím je to způsobeno? V první řadě přirozeně tím, že středoškoláci matematice moc nerozumí a většina v ní nevidí žádný smysl. Ptají se (nutno dodat, že oprávněně): "K čemu mi tohle v životě bude?" Učitel mnohdy sám neví a jen krčí rameny. Proto jsem se rozhodl začít psát tento nepravidelný blogový seriál, abych dal studentům, rodičům i učitelům alespoň malý přehled o tom, jaké jsou praktické aplikace jednotlivých oblastí středoškolské matematiky. Dnes se podíváme na komplexní čísla.

Nejprve něco málo o historii číselných oborů. Na úplném začátku stála čísla 1, 2, 3 atd., kterým dnes říkáme přirozená. Jejich účel byl jasný - popsat, kolik vojáků má nepřítel nebo kolik kusů dobytka se mi letos narodilo. Pak přišly zlomky s cílem označit nějakou poměrnou část celku - polovinu majetku, desetinu válečné kořisti nebo pětinu úrody. Těmto číslům se dnes říká racionální. Toto všechno bylo velice přirozené. Komplikace přišly, když se někdo pokusil spočítat délku úhlopříčky ve čtverci. Dnes víme, že je to délka strany krát odmocnina ze dvou, ale tehdy lidé znali nanejvýš zlomky. Po mnoha a mnoha letech se ukázalo,že dosavadní znalosti na tento úkol nestačí a že na řešení některých geometrických úloh potřebujeme zavést iracionální čísla. Všem těmto číslům dohromady dnes říkáme reálná. Potřeba komplexních čísel vznikla stejně přirozenou cestou, jako u ostatních čísel. Ukázalo se, že některé typy úloh nemají řešení, konkrétně pak kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Byla proto zavedena imaginární jednotka, kterou si můžeme představovat jako odmocninu z mínus jedné.

Když se řekne imaginární část, často je to chápáno jako neexistující, smyšlená část čísla. To však není tak úplně pravda - imaginární (resp. komplexní) čísla se s výhodou používají při popisu skutečných dějů. Například v elektronice - napětí a impedance ve střídavých obvodech jsou velice důležité komplexní veličiny, bez kterých prakticky nemůžete se střídavými obvody nějak efektivně pracovat. To znamená, že téměř každý kousek elektroniky, kterou si doma zapojíte do zásuvky, musel nejprve navrhnout a sestrojit někdo, kdo byl dobře seznámen s komplexními čísly. Tytéž znalosti se vám budou hodit, pokud se rozhodnete stát se domácím kutilem a něco si sám doma vyrobit či upravit.

Komplexní čísla mají také jednu velice důležitou geometrickou vlastnost. Představte si rovinu, kde jedna souřadnice popisuje reálnou část čísla a druhá komplexní část čísla. Když vezmete nějaké číslo (resp. bod) v této rovině a vynásobíte ho kladným reálným číslem, budete měnit jeho vzdálenost od počátku souřadnic. Když ho vynásobíte záporným číslem, tak ho navíc ještě překlopíte na druhou stranu. Co se ale stane, pokud ho vynásobíte komplexním číslem? Otočí se kolem středu o nějaký úhel, jehož velikost závisí na tom, jakým číslem násobíte. Dokud máte několik málo bodů a kružítko v ruce, pak zvládnete nějakou rotaci snadno narýsovat sami. Když ale máte například na počítači otevřený nějaký grafický editor a chcete pootočit celý obrázek, je nutné, aby počítač nějakým způsobem přepočítal nové souřadnice pro každý bod daného obrázku. Vynásobení komplexním číslem je ta nejjednodušší a nejpřirozenější varianta, jak to udělat. Takže ano, pro programátora je znalost komplexních čísel také velice užitečná.

Pomocí komplexních čísel je možné popisovat i rotace v prostoru. Je to podstatně složitější a neobejdete se zde bez znalosti maticového počtu, takže zde raději nebudu vysvětlovat princip. Nicméně až budete příště hrát svoji oblíbenou 3D střílečku, můžete si vzpomenout, že každé vaše ohlédnutí za záda či nakouknutí za roh je ve skutečnosti zase nějaké násobení komplexních čísel.

Kdo dále používá komplexní čísla? Třeba kdokoli, kdo má něco společného s navrhováním reproduktorů či jiných zvukových zařízení. Lidé, kteří sestrojují solární panely. Fyzici, zabývající se kvantovou mechanikou či mechanikou kapalin. Architekti a inženýři, kteří pracují s prutovými konstrukcemi. Mnoho dalších aplikací nalezneme i v geometrii, například při generování frakálů.

Netvrdím, že komplexní čísla bude v životě potřebovat každý. Nicméně jejich využití v technických oborech je velice široké a rozhodně nejde o nějakou hloupost, kterou by se středoškoláci učili zcela zbytečně.

Autor: Pavel Zoubek | čtvrtek 16.5.2013 14:51 | karma článku: 31.91 | přečteno: 5427x

Další články blogera

Tato rubrika neobsahuje žádné články...

Další články z rubriky Věda

Dana Tenzler

Adventní chemie - z čeho a jak vyrobit domácí umělý sníh?

Vánoce nás poslední dobou sněhem moc nerozmazlují. Komu se po něm stýská, ten se musí poohlédnout po alternativě. V blogu se dočtete, jak si udělat vlastní umělý sníh. (délka blogu 3 min.)

10.12.2018 v 8:00 | Karma článku: 13.26 | Přečteno: 290 | Diskuse

Libor Čermák

Může mít Krakonoš něco společného s mimozemšťany?

Osobně jsem přesvědčený, že pokud se někde na zeměkouli vyskytne báje nebo pověst o něčem, co si úplně nedokážeme vysvětlit, možná by na scénu mohla přijít archeoastronautika. A jak jsou na tom pověsti například o Krakonošovi?

10.12.2018 v 6:13 | Karma článku: 12.40 | Přečteno: 281 |

Jan Řeháček

Matykání: regrese a korelace - to se nasmějeme

To takhle stojí devět čtverců před barem a jeden povídá: "Chlapi, opakujte po mně - stanu se menším a ještě menším, až budu nejmenším na celém světě". Kolem prochází kružítko a chvíli na ně kouká. "Zase nacvičujete regresi, co?"

9.12.2018 v 9:09 | Karma článku: 16.01 | Přečteno: 454 | Diskuse

Jan Mestan

Kolik ropy světu zbývá? Podle červnové zprávy BP 'mejdan' ještě pár dekád potrvá

Země je kulatá a její rozměry jsou konečné. Z dané skutečnosti plyne, že i zásoby surovin jsou omezené či konečné. Určité druhy surovin, jako třeba zvláště levnou ropu, nelze po jejich spálení zase levně obnovit či vytěžit.

8.12.2018 v 11:18 | Karma článku: 20.15 | Přečteno: 692 | Diskuse

Karel Tejkal

Parodie na (kreacionistickou) parodii

Někteří kreacionisté mají dosud problém s heliocentrismem, protože dle bible by Země (navzdory zkorumpované evoluční astronomii) přece jen měla být nehybným středem vesmíru. Vzácně se však shodnou, že Země už není placka.

7.12.2018 v 21:03 | Karma článku: 14.78 | Přečteno: 344 | Diskuse
Počet článků 9 Celková karma 0.00 Průměrná čtenost 1792

Jsem vývojář webových aplikací, matematik, skeptik, filosof, obhájce feminismu a lidských práv. Tedy slovy někoho jiného asociál, podivín, zmanipulovaná ovce, žvanil, podpantoflák a sluníčkář.

Najdete na iDNES.cz