K čemu mi někdy bude... 1. - Komplexní čísla

16. 05. 2013 14:51:19
V posledních dnech se vcelku diskutovaným tématem stala státní maturita z matematiky. Není divu, poměrně velké procento studentů u ní pohořelo. Čím je to způsobeno? V první řadě přirozeně tím, že středoškoláci matematice moc nerozumí a většina v ní nevidí žádný smysl. Ptají se (nutno dodat, že oprávněně): "K čemu mi tohle v životě bude?" Učitel mnohdy sám neví a jen krčí rameny. Proto jsem se rozhodl začít psát tento nepravidelný blogový seriál, abych dal studentům, rodičům i učitelům alespoň malý přehled o tom, jaké jsou praktické aplikace jednotlivých oblastí středoškolské matematiky. Dnes se podíváme na komplexní čísla.

Nejprve něco málo o historii číselných oborů. Na úplném začátku stála čísla 1, 2, 3 atd., kterým dnes říkáme přirozená. Jejich účel byl jasný - popsat, kolik vojáků má nepřítel nebo kolik kusů dobytka se mi letos narodilo. Pak přišly zlomky s cílem označit nějakou poměrnou část celku - polovinu majetku, desetinu válečné kořisti nebo pětinu úrody. Těmto číslům se dnes říká racionální. Toto všechno bylo velice přirozené. Komplikace přišly, když se někdo pokusil spočítat délku úhlopříčky ve čtverci. Dnes víme, že je to délka strany krát odmocnina ze dvou, ale tehdy lidé znali nanejvýš zlomky. Po mnoha a mnoha letech se ukázalo,že dosavadní znalosti na tento úkol nestačí a že na řešení některých geometrických úloh potřebujeme zavést iracionální čísla. Všem těmto číslům dohromady dnes říkáme reálná. Potřeba komplexních čísel vznikla stejně přirozenou cestou, jako u ostatních čísel. Ukázalo se, že některé typy úloh nemají řešení, konkrétně pak kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Byla proto zavedena imaginární jednotka, kterou si můžeme představovat jako odmocninu z mínus jedné.

Když se řekne imaginární část, často je to chápáno jako neexistující, smyšlená část čísla. To však není tak úplně pravda - imaginární (resp. komplexní) čísla se s výhodou používají při popisu skutečných dějů. Například v elektronice - napětí a impedance ve střídavých obvodech jsou velice důležité komplexní veličiny, bez kterých prakticky nemůžete se střídavými obvody nějak efektivně pracovat. To znamená, že téměř každý kousek elektroniky, kterou si doma zapojíte do zásuvky, musel nejprve navrhnout a sestrojit někdo, kdo byl dobře seznámen s komplexními čísly. Tytéž znalosti se vám budou hodit, pokud se rozhodnete stát se domácím kutilem a něco si sám doma vyrobit či upravit.

Komplexní čísla mají také jednu velice důležitou geometrickou vlastnost. Představte si rovinu, kde jedna souřadnice popisuje reálnou část čísla a druhá komplexní část čísla. Když vezmete nějaké číslo (resp. bod) v této rovině a vynásobíte ho kladným reálným číslem, budete měnit jeho vzdálenost od počátku souřadnic. Když ho vynásobíte záporným číslem, tak ho navíc ještě překlopíte na druhou stranu. Co se ale stane, pokud ho vynásobíte komplexním číslem? Otočí se kolem středu o nějaký úhel, jehož velikost závisí na tom, jakým číslem násobíte. Dokud máte několik málo bodů a kružítko v ruce, pak zvládnete nějakou rotaci snadno narýsovat sami. Když ale máte například na počítači otevřený nějaký grafický editor a chcete pootočit celý obrázek, je nutné, aby počítač nějakým způsobem přepočítal nové souřadnice pro každý bod daného obrázku. Vynásobení komplexním číslem je ta nejjednodušší a nejpřirozenější varianta, jak to udělat. Takže ano, pro programátora je znalost komplexních čísel také velice užitečná.

Pomocí komplexních čísel je možné popisovat i rotace v prostoru. Je to podstatně složitější a neobejdete se zde bez znalosti maticového počtu, takže zde raději nebudu vysvětlovat princip. Nicméně až budete příště hrát svoji oblíbenou 3D střílečku, můžete si vzpomenout, že každé vaše ohlédnutí za záda či nakouknutí za roh je ve skutečnosti zase nějaké násobení komplexních čísel.

Kdo dále používá komplexní čísla? Třeba kdokoli, kdo má něco společného s navrhováním reproduktorů či jiných zvukových zařízení. Lidé, kteří sestrojují solární panely. Fyzici, zabývající se kvantovou mechanikou či mechanikou kapalin. Architekti a inženýři, kteří pracují s prutovými konstrukcemi. Mnoho dalších aplikací nalezneme i v geometrii, například při generování frakálů.

Netvrdím, že komplexní čísla bude v životě potřebovat každý. Nicméně jejich využití v technických oborech je velice široké a rozhodně nejde o nějakou hloupost, kterou by se středoškoláci učili zcela zbytečně.

Autor: Pavel Zoubek | čtvrtek 16.5.2013 14:51 | karma článku: 32.19 | přečteno: 5494x

Další články blogera

Tato rubrika neobsahuje žádné články...

Další články z rubriky Věda

Jan Švadlenka

Regulovaná buněčná smrt II. - Apoptóza

Další část série článků týkajících se regulované buněčné smrti je věnována apoptóze, komplexnímu ději sloužícímu k odstraňování nepotřebných či nebezpečných buněk a recyklaci jejich materiálu.

15.1.2019 v 15:20 | Karma článku: 7.83 | Přečteno: 153 | Diskuse

Libor Čermák

Zvláštnost podobných hor na jednom poledníku

K tomu, jak si příroda umí někdy zašpásovat, mne přivedl obrázek chilského pohoří Torres del Paine. Všimněte si, že obrázek se velmi podobá hoře Huyana Picchu v Peru, tyčící se nad slavnou Machu Picchu.

15.1.2019 v 6:04 | Karma článku: 10.13 | Přečteno: 366 |

Jan Fikáček

Teorie relativity extrémně názorně

Byly pro vás všechny výklady speciální teorie relativity příliš nepochopitelné a složité? Tak zkuste ještě přístupnější výklad, který vám relativitu přiblíží paralelami s důvěrně známými jevy jako jsou stín nebo déšť.

14.1.2019 v 9:17 | Karma článku: 28.70 | Přečteno: 1248 | Diskuse

Dana Tenzler

Chemie v garáži - jednorázová sádra a její recyklace

Proč se dá sádra použít jen jednou? Jak funguje tvrdnutí sádry? Dá se urychlit nebo zpomalit? Jak udělat ze sádry zajímavou hračku pro malé dětské výzkumníky. (délka blogu 5 min.)

14.1.2019 v 8:00 | Karma článku: 26.43 | Přečteno: 587 | Diskuse

Libor Čermák

Kdo všechno v dávnověku věděl o všech kontinentech?

Když jsem shlédl nejnovější díl Vetřelců dávnověku o Antarktidě, začal jsem si dávat dohromady, kdo vlastně všechno v dávných dobách věděl o všech pozemských kontinentech. Že by to skutečně nebyly jen novověké objevy?

13.1.2019 v 6:26 | Karma článku: 27.49 | Přečteno: 1365 |
Počet článků 9 Celková karma 0.00 Průměrná čtenost 1805

Jsem vývojář webových aplikací, matematik, skeptik, filosof, obhájce feminismu a lidských práv. Tedy slovy někoho jiného asociál, podivín, zmanipulovaná ovce, žvanil, podpantoflák a sluníčkář.

Najdete na iDNES.cz