K čemu mi někdy bude... 2. - Goniometrie

17. 05. 2013 16:41:40
Povzbuzen pozitivními ohlasy na včerejší článek, rozhodl jsem se, že se hned dnes pustím do pokračování. Rád bych se zaměřil na něco, co osobně považuji za jednu nejdůležitějších věcí v rámci středoškolské matematiky. Jde o funkce sinus, cosinus, tangens a cotangens.

Mnoho lidí podceňuje užitečnost jednotkové kružnice a raději se biflují vzorečky nazpaměť. Tím ale přichází o podstatu celé věci - že totiž pomocí funkcí sinus a cosinus dokážeme určit souřadnice bodů na kružnici (viz obrázek). Díky tomu je možné tyto funkce využít pro popis kruhového nebo třeba kyvadlového pohybu. Zároveň je odsud dobře patrná provázanost gonimetrických funkcí s pravoúhlými trojúhelníky. Podle jednoho úhlu a jedné strany jsme schopni dopočítat i zbytek údajů. Snadno pak odvodíme i velice užitečné vztahy pro obecný trojúhelník, zejména takzvanou sinovou větu.

Jednotková kružniceTyto základní geometrické vlastnosti ocení prakticky každý alespoň trochu technicky zaměřený člověk. Používají se například při sčítání vektorových fyzikálních veličin nebo při přípravách technických výkresů (ano, dnes to za vás již udělá počítač, ale jakou metodu asi používá ten program?). Spoustu zajímavých aplikací najdeme i při měření různých vzdáleností, ať už v zeměměřičství, navigaci nebo astronomii. Jak to funguje?

Měřič se postaví na nějaké místo a namíří přístroj na vrchol nějakého kopce. Poté změří úhel mezi zemí a ručičkou přístroje, která ukazuje na vrchol. Popojde o sto metrů blíže ke kopci a celý experiment zopakuje. Tím získá trojúhelník, u kterého zná základnu (100 metrů) a oba přilehlé úhly. Z toho snadno pomocí goniometrických funkcí dopočítá zbylé údaje, především tedy výšku na základnu, což je hledaná výška kopce. Dnes se sice používají přesnější metody, ale pokud jste se setkali s kapesními laserovými měřícími přístroji, tak ty často pracují velice podobně.

V astronomii se obdobným způsobem měří vzdálenost blízkých hvězd. V zimě namíříte jednu ručičku přístroje na Slunce, druhou na hvězdu a změříte úhel. V létě, když je Země přesně na opačné straně od Slunce, pokus zopakujete. Na výpočet vzdálenosti se pak použije úplně stejná metoda, jako u toho kopce.

Doposud jsem psal jen o prostých geometrických vlastnostech, kterých můžeme využít při výpočtech s kružnicí či trojúhelníkem. Sinusoida ale dokonale popisuje také fyzikální vlnění - mechanické, elektromagnetické a prakticky i jakékoli jiné. Dokonce i zvuk nebo rádiový signál se dá dostatečně přesně popsat pomocí součtu určitého počtu funkcí sinus a cosinus (tomuto převodu se říká Fourierova transformace). Toho se využívá například při digitalizaci zvuku, tedy při jeho převodu do počítačového jazyka. Bez znalostí těchto funkcí by nebylo možné si přehrávat hudbu ve formátu mp3, byli bychom odkázáni na kazety a gramofonové desky. O elektronické hudbě bychom si mohli nechat zdát. Harmonický střídavý proud má také tvar funkce sinus, pro elektrotechniky je tedy znalost této funkce doslova povinnost.

Znát funkce sinus a cosinus sice není životní nutnost, přežít se dá i bez nich, ale v mnoha situacích vám mohou pomoci. Trojúhelníků a obdélníků máme ve svém okolí koneckonců spousty.

Autor: Pavel Zoubek | pátek 17.5.2013 16:41 | karma článku: 25.88 | přečteno: 2669x

Další články blogera

Tato rubrika neobsahuje žádné články...

Další články z rubriky Věda

Jan Mestan

Iniciace spontánního uvolnění uložené relaxační energie stlačené koule táním ledu

Ukážeme si příklad experimentu, který znázorňuje způsob rozepnutí koule po roztání jejího ledového obalu. V prvním kroku je uložena relaxační energie stlačením koule, v dalším kroku je energie uchována ledovým obalem.

22.3.2019 v 19:03 | Karma článku: 7.27 | Přečteno: 132 | Diskuse

Libor Čermák

Co když už byla objevena "temná hvězda" z Ikarie XB 1?

Tento týden jsem se po nějaké době opět podíval na český scififilm "Ikarie XB 1", který dávali na CS filmu. Tam posádka lodi prolétá na cestě k Alfa Centauri kolem jakési temné hvězdy. Co když tam tato hvězda skutečně existuje?

22.3.2019 v 8:52 | Karma článku: 13.51 | Přečteno: 378 |

Jan Veselý

Proč nejsou Velikonoce už tento víkend?

aneb Několik kalendářních omylů. První neděle po prvním jarním úplňku má být podle definice velikonoční. Astronomické jaro letos začalo 20. března a hned 21. března byl úplněk. Proč tedy nejsou Velikonoce už teď?

21.3.2019 v 17:30 | Karma článku: 27.21 | Přečteno: 1165 | Diskuse

Libor Čermák

Vznikla dánská vlajka na základě setkání s UFO?

Když vznikalo Československo, dlouho se diskutovalo, jakou bude mít vlajku. Ovšem vlajky některých jiných států to měly jednodušší, protože vznikly na základě legend a pověstí. Například dánská vlajka prý vznikla přímo na obloze.

21.3.2019 v 8:53 | Karma článku: 13.36 | Přečteno: 443 |

Dana Tenzler

Jak škodí radioaktivita? O všem rozhoduje dávka.

K tomuto blogu mě inspirovala klasická věta “Dostal tak vysokou dávku radioaktivity, že z toho až dostal rakovinu.” Je totiž nesprávná. Když někdo dostane obří dávku ionizujícího záření - rakovina je jeho poslední starost.

21.3.2019 v 8:00 | Karma článku: 16.85 | Přečteno: 397 | Diskuse
Počet článků 9 Celková karma 0.00 Průměrná čtenost 1840

Jsem vývojář webových aplikací, matematik, skeptik, filosof, obhájce feminismu a lidských práv. Tedy slovy někoho jiného asociál, podivín, zmanipulovaná ovce, žvanil, podpantoflák a sluníčkář.

Najdete na iDNES.cz