K čemu mi někdy bude... 2. - Goniometrie

17. 05. 2013 16:41:40
Povzbuzen pozitivními ohlasy na včerejší článek, rozhodl jsem se, že se hned dnes pustím do pokračování. Rád bych se zaměřil na něco, co osobně považuji za jednu nejdůležitějších věcí v rámci středoškolské matematiky. Jde o funkce sinus, cosinus, tangens a cotangens.

Mnoho lidí podceňuje užitečnost jednotkové kružnice a raději se biflují vzorečky nazpaměť. Tím ale přichází o podstatu celé věci - že totiž pomocí funkcí sinus a cosinus dokážeme určit souřadnice bodů na kružnici (viz obrázek). Díky tomu je možné tyto funkce využít pro popis kruhového nebo třeba kyvadlového pohybu. Zároveň je odsud dobře patrná provázanost gonimetrických funkcí s pravoúhlými trojúhelníky. Podle jednoho úhlu a jedné strany jsme schopni dopočítat i zbytek údajů. Snadno pak odvodíme i velice užitečné vztahy pro obecný trojúhelník, zejména takzvanou sinovou větu.

Jednotková kružniceTyto základní geometrické vlastnosti ocení prakticky každý alespoň trochu technicky zaměřený člověk. Používají se například při sčítání vektorových fyzikálních veličin nebo při přípravách technických výkresů (ano, dnes to za vás již udělá počítač, ale jakou metodu asi používá ten program?). Spoustu zajímavých aplikací najdeme i při měření různých vzdáleností, ať už v zeměměřičství, navigaci nebo astronomii. Jak to funguje?

Měřič se postaví na nějaké místo a namíří přístroj na vrchol nějakého kopce. Poté změří úhel mezi zemí a ručičkou přístroje, která ukazuje na vrchol. Popojde o sto metrů blíže ke kopci a celý experiment zopakuje. Tím získá trojúhelník, u kterého zná základnu (100 metrů) a oba přilehlé úhly. Z toho snadno pomocí goniometrických funkcí dopočítá zbylé údaje, především tedy výšku na základnu, což je hledaná výška kopce. Dnes se sice používají přesnější metody, ale pokud jste se setkali s kapesními laserovými měřícími přístroji, tak ty často pracují velice podobně.

V astronomii se obdobným způsobem měří vzdálenost blízkých hvězd. V zimě namíříte jednu ručičku přístroje na Slunce, druhou na hvězdu a změříte úhel. V létě, když je Země přesně na opačné straně od Slunce, pokus zopakujete. Na výpočet vzdálenosti se pak použije úplně stejná metoda, jako u toho kopce.

Doposud jsem psal jen o prostých geometrických vlastnostech, kterých můžeme využít při výpočtech s kružnicí či trojúhelníkem. Sinusoida ale dokonale popisuje také fyzikální vlnění - mechanické, elektromagnetické a prakticky i jakékoli jiné. Dokonce i zvuk nebo rádiový signál se dá dostatečně přesně popsat pomocí součtu určitého počtu funkcí sinus a cosinus (tomuto převodu se říká Fourierova transformace). Toho se využívá například při digitalizaci zvuku, tedy při jeho převodu do počítačového jazyka. Bez znalostí těchto funkcí by nebylo možné si přehrávat hudbu ve formátu mp3, byli bychom odkázáni na kazety a gramofonové desky. O elektronické hudbě bychom si mohli nechat zdát. Harmonický střídavý proud má také tvar funkce sinus, pro elektrotechniky je tedy znalost této funkce doslova povinnost.

Znát funkce sinus a cosinus sice není životní nutnost, přežít se dá i bez nich, ale v mnoha situacích vám mohou pomoci. Trojúhelníků a obdélníků máme ve svém okolí koneckonců spousty.

Autor: Pavel Zoubek | pátek 17.5.2013 16:41 | karma článku: 25.47 | přečteno: 2493x

Další články blogera

Tato rubrika neobsahuje žádné články...

Další články z rubriky Věda

Dana Tenzler

Adventní chemie - z čeho a jak vyrobit domácí umělý sníh?

Vánoce nás poslední dobou sněhem moc nerozmazlují. Komu se po něm stýská, ten se musí poohlédnout po alternativě. V blogu se dočtete, jak si udělat vlastní umělý sníh. (délka blogu 3 min.)

10.12.2018 v 8:00 | Karma článku: 13.26 | Přečteno: 290 | Diskuse

Libor Čermák

Může mít Krakonoš něco společného s mimozemšťany?

Osobně jsem přesvědčený, že pokud se někde na zeměkouli vyskytne báje nebo pověst o něčem, co si úplně nedokážeme vysvětlit, možná by na scénu mohla přijít archeoastronautika. A jak jsou na tom pověsti například o Krakonošovi?

10.12.2018 v 6:13 | Karma článku: 12.40 | Přečteno: 281 |

Jan Řeháček

Matykání: regrese a korelace - to se nasmějeme

To takhle stojí devět čtverců před barem a jeden povídá: "Chlapi, opakujte po mně - stanu se menším a ještě menším, až budu nejmenším na celém světě". Kolem prochází kružítko a chvíli na ně kouká. "Zase nacvičujete regresi, co?"

9.12.2018 v 9:09 | Karma článku: 16.01 | Přečteno: 454 | Diskuse

Jan Mestan

Kolik ropy světu zbývá? Podle červnové zprávy BP 'mejdan' ještě pár dekád potrvá

Země je kulatá a její rozměry jsou konečné. Z dané skutečnosti plyne, že i zásoby surovin jsou omezené či konečné. Určité druhy surovin, jako třeba zvláště levnou ropu, nelze po jejich spálení zase levně obnovit či vytěžit.

8.12.2018 v 11:18 | Karma článku: 20.15 | Přečteno: 692 | Diskuse

Karel Tejkal

Parodie na (kreacionistickou) parodii

Někteří kreacionisté mají dosud problém s heliocentrismem, protože dle bible by Země (navzdory zkorumpované evoluční astronomii) přece jen měla být nehybným středem vesmíru. Vzácně se však shodnou, že Země už není placka.

7.12.2018 v 21:03 | Karma článku: 14.78 | Přečteno: 344 | Diskuse
Počet článků 9 Celková karma 0.00 Průměrná čtenost 1792

Jsem vývojář webových aplikací, matematik, skeptik, filosof, obhájce feminismu a lidských práv. Tedy slovy někoho jiného asociál, podivín, zmanipulovaná ovce, žvanil, podpantoflák a sluníčkář.

Najdete na iDNES.cz