Neděle 9. května 2021, svátek má Ctibor
  • schránka
  • Přihlásit Můj účet
  • Neděle 9. května 2021 Ctibor

K čemu mi někdy bude... 2. - Goniometrie

17. 05. 2013 16:41:40
Povzbuzen pozitivními ohlasy na včerejší článek, rozhodl jsem se, že se hned dnes pustím do pokračování. Rád bych se zaměřil na něco, co osobně považuji za jednu nejdůležitějších věcí v rámci středoškolské matematiky. Jde o funkce sinus, cosinus, tangens a cotangens.

Mnoho lidí podceňuje užitečnost jednotkové kružnice a raději se biflují vzorečky nazpaměť. Tím ale přichází o podstatu celé věci - že totiž pomocí funkcí sinus a cosinus dokážeme určit souřadnice bodů na kružnici (viz obrázek). Díky tomu je možné tyto funkce využít pro popis kruhového nebo třeba kyvadlového pohybu. Zároveň je odsud dobře patrná provázanost gonimetrických funkcí s pravoúhlými trojúhelníky. Podle jednoho úhlu a jedné strany jsme schopni dopočítat i zbytek údajů. Snadno pak odvodíme i velice užitečné vztahy pro obecný trojúhelník, zejména takzvanou sinovou větu.

Jednotková kružnice
Tyto základní geometrické vlastnosti ocení prakticky každý alespoň trochu technicky zaměřený člověk. Používají se například při sčítání vektorových fyzikálních veličin nebo při přípravách technických výkresů (ano, dnes to za vás již udělá počítač, ale jakou metodu asi používá ten program?). Spoustu zajímavých aplikací najdeme i při měření různých vzdáleností, ať už v zeměměřičství, navigaci nebo astronomii. Jak to funguje?

Měřič se postaví na nějaké místo a namíří přístroj na vrchol nějakého kopce. Poté změří úhel mezi zemí a ručičkou přístroje, která ukazuje na vrchol. Popojde o sto metrů blíže ke kopci a celý experiment zopakuje. Tím získá trojúhelník, u kterého zná základnu (100 metrů) a oba přilehlé úhly. Z toho snadno pomocí goniometrických funkcí dopočítá zbylé údaje, především tedy výšku na základnu, což je hledaná výška kopce. Dnes se sice používají přesnější metody, ale pokud jste se setkali s kapesními laserovými měřícími přístroji, tak ty často pracují velice podobně.

V astronomii se obdobným způsobem měří vzdálenost blízkých hvězd. V zimě namíříte jednu ručičku přístroje na Slunce, druhou na hvězdu a změříte úhel. V létě, když je Země přesně na opačné straně od Slunce, pokus zopakujete. Na výpočet vzdálenosti se pak použije úplně stejná metoda, jako u toho kopce.

Doposud jsem psal jen o prostých geometrických vlastnostech, kterých můžeme využít při výpočtech s kružnicí či trojúhelníkem. Sinusoida ale dokonale popisuje také fyzikální vlnění - mechanické, elektromagnetické a prakticky i jakékoli jiné. Dokonce i zvuk nebo rádiový signál se dá dostatečně přesně popsat pomocí součtu určitého počtu funkcí sinus a cosinus (tomuto převodu se říká Fourierova transformace). Toho se využívá například při digitalizaci zvuku, tedy při jeho převodu do počítačového jazyka. Bez znalostí těchto funkcí by nebylo možné si přehrávat hudbu ve formátu mp3, byli bychom odkázáni na kazety a gramofonové desky. O elektronické hudbě bychom si mohli nechat zdát. Harmonický střídavý proud má také tvar funkce sinus, pro elektrotechniky je tedy znalost této funkce doslova povinnost.

Znát funkce sinus a cosinus sice není životní nutnost, přežít se dá i bez nich, ale v mnoha situacích vám mohou pomoci. Trojúhelníků a obdélníků máme ve svém okolí koneckonců spousty.

Autor: Pavel Zoubek | pátek 17.5.2013 16:41 | karma článku: 26.56 | přečteno: 4078x

Další články blogera

Tato rubrika neobsahuje žádné články...

Další články z rubriky Věda

Jan Řeháček

Matykání: kruhová inverze - brána do hyperbolické geometrie

Jedním z klasických geometrických zobrazení je kruhová inverze. Moderní počítačová technika ji sice pomalu vytlačuje ze školních osnov, ale pro studium hyperbolické geometrie má stále zásadní význam. Zejména v komplexní rovině.

9.5.2021 v 9:09 | Karma článku: 11.03 | Přečteno: 143 | Diskuse

Petr Bajnar

Stanou se z nás kyborgové?

Je tomu již více než 100 let, co Karel Čapek ve svém dramatu RUR z roku 1920 předpověděl příchod doby, kdy člověk vládnoucí Zemi bude nahrazen strojem.

9.5.2021 v 9:03 | Karma článku: 8.22 | Přečteno: 117 | Diskuse

Dana Tenzler

Jak chutná těžká voda?

Dá se rozlišit těžká voda od “běžné” vody podle chuti? Moderní věda přišla na kloub staré záhadě. A proč se neví, jak chutná supertěžká voda? (délka blogu 5 min.)

6.5.2021 v 8:00 | Karma článku: 29.00 | Přečteno: 688 | Diskuse

Karel Tejkal

Fermiho paradox a temná hmota

Fermiho paradox vyjadřuje podivení, že jsme dosud nenalezli stopu po mimozemské civilizaci. Nabízím jedno z možných vysvětlení.

5.5.2021 v 13:42 | Karma článku: 11.40 | Přečteno: 357 | Diskuse

Jan Fikáček

Měl Einstein pravdu, že je kvantová mechanika špatně?

Mezi lidmi běhá klišé, že Einstein nerozuměl kvantové mechanice, že ji popíral atd. Chcete vědět, jak to skutečně bylo?

5.5.2021 v 9:05 | Karma článku: 19.19 | Přečteno: 1127 | Diskuse
Počet článků 9 Celková karma 0.00 Průměrná čtenost 2245

Jsem vývojář webových aplikací, matematik, skeptik, filosof, obhájce feminismu a lidských práv. Tedy slovy někoho jiného asociál, podivín, zmanipulovaná ovce, žvanil, podpantoflák a sluníčkář.

Najdete na iDNES.cz