K čemu mi někdy bude... 3. - Konečné posloupnosti a řady

10. 05. 2015 13:45:00
Ve třetí části tohoto nepravidelného seriálu o využití středoškolských znalostí matematiky se podíváme na konečné a nekonečné posloupnosti a řady, a možná zklameme některé naše humanitně zaměřené přátele. Potřebují to taky.

Existuje jedna rozsáhlá matematická disciplína, zvaná analýza časových řad, která má na klasických konečných posloupnostech a řadách postavené svoje základy. Její název je skutečně odpovídající - jde o zkoumání nějakých ukazatelů, které se v čase mění. To zahrnuje jak samotný popis té změny (např. pomocí meziročního přírůstku), tak nějaké nástroje pro odhadování budoucího vývoje (často slýcháme někoho hovořit o nějakém rostoucím trendu - ten trend analyzuje právě tato disciplína).

Je jasné, jaká jsou využití např. v ekonomii - pomocí údajů z předchozích let můžeme odhadovat budoucí vývoj na trhu, nebo na základě statistiky úrazů nastavit vhodnou cenu úrazového pojištění na další období. Nástroje pro to jsou poměrně málo spolehlivé nebo hodně komplikované, případně obojí, a právě umění použít vhodný nástroj ve správnou chvíli je často to, co tvoří rozdíl mezi úspěšným a neúspěšným ekonomem.

Ukažme si ale raději nějakou jednodušší ekonomickou aplikaci, se kterou se může koneckonců setkat každý z nás. V učebnicích často bývají zařazené (ale na některých školách se bohužel přeskakují) příklady typu "když budu spořit 2000 Kč měsíčně s měsíčním úrokem 0.5%, kolik budu mít naspořeno za 3 roky?" Kdybychom si to rozepsali a roznásobili, budeme mít 36 sčítanců, kde první se zúročí 35-krát a každý další o jedna méně, až se poslední nezúročí vůbec (protože jsme ho tam právě vložili). A to je součet geometrické posloupnosti, jenom je možná trošku matoucí, že je napsaná pozpátku. Po dosazení do vzorce zjistíme, že je to přibližně 2000 * (1.005^36 - 1) / 0.005 = 78 670 Kč, což nám dozajista pomůže se rozhodnout, jestli je pro nás takové spoření výhodné nebo ne.

Když jsem na začátku mluvil o humanitních oborech, měl jsem na mysli hlavně sociologii. I pro sociologa je důležité umět jak správně popsat předchozí, tak dobře odhadnout budoucí vývoj nějakého ukazatele. Například odhadnout, jak se bude měnit počet obyvatel obce v průběhu let, pokud se v ní neotevřou nové pracovní pozice nebo nedojde k nějaké větší změně. Na základě takového sociologického posudku může potom radnice podniknout nějaké kroky, nebo se rozhodnout, že očekávaný vývoj je vlastně celkem příznivý a že by se ty peníze mohly hodit spíš na něco jiného.

Spoustu podobných příkladů musí řešit také meteorologové (očividně), klimatologové, ale i třeba lékaři (resp. spíš kliničtí výzkumní pracovníci), když sledují pacientovu kondici a dlouhodobý vliv léčby na ni. Pro všechny ale platí stejné pravidlo - když se pokoušíme modelovat, jak se bude chovat něco tak složitého jako je počasí, společnost, trh, lidské tělo atp., tak přesnost modelu tím rychleji klesá, čím více do budoucnosti se snažíme něco odhadnout. Je to dané tím, že s rostoucím časem přichází více neočekávaných, dalo by se říct náhodných, vlivů.

Velice důležitým praktickým využitím konečných posloupností a řad jsou tedy různé časové řady, které se objevují napříč mnoha obory, a některé jednodušší finanční aplikace se mohou hodit každému, kdo nechce jenom věřit tomu, co mu říká finanční poradce o výhodnosti nebo nevýhodnosti konkurenčních nabídek, a chce si ve svých penězích sám udělat jasno.

V jednom z předchozích dílů jsem psal taky o Fourierových řadách a jejich využití např. při digitálním zpracování nebo generování zvuku, resp. obecně signálu. Po součtu aritmetické a geometrické posloupnosti je to další speciální druh řady, se kterým se mohou technicky orientovaní lidé setkat - ovšem už nejde o jen tak ledajaké číselné řady, Fourierovy řady jsou součty funkcí a pracuje se s nimi poměrně složitě.

Určitě jsem na spoustu důležitých věcí zapomněl, a nechť se čtenář nestydí podělit se o další aplikace v diskuzi, napadnou-li ho nějaké. No a k čemu ty nekonečné řady, limity a další "hlouposti"? To jsou teoretické věci, na kterých se potom zakládá celá obrovská teorie matematické analýzy, a její využití je tak široké a napříč různými obory, že o tom raději zase někdy příště, až si budu stěžovat, že už se na gymnáziích neučí derivace a integrály. :)

Autor: Pavel Zoubek | neděle 10.5.2015 13:45 | karma článku: 11.35 | přečteno: 863x

Další články blogera

Tato rubrika neobsahuje žádné články...

Další články z rubriky Věda

Jan Švadlenka

Regulovaná buněčná smrt II. - Apoptóza

Další část série článků týkajících se regulované buněčné smrti je věnována apoptóze, komplexnímu ději sloužícímu k odstraňování nepotřebných či nebezpečných buněk a recyklaci jejich materiálu.

15.1.2019 v 15:20 | Karma článku: 7.83 | Přečteno: 157 | Diskuse

Libor Čermák

Zvláštnost podobných hor na jednom poledníku

K tomu, jak si příroda umí někdy zašpásovat, mne přivedl obrázek chilského pohoří Torres del Paine. Všimněte si, že obrázek se velmi podobá hoře Huyana Picchu v Peru, tyčící se nad slavnou Machu Picchu.

15.1.2019 v 6:04 | Karma článku: 10.13 | Přečteno: 367 |

Jan Fikáček

Teorie relativity extrémně názorně

Byly pro vás všechny výklady speciální teorie relativity příliš nepochopitelné a složité? Tak zkuste ještě přístupnější výklad, který vám relativitu přiblíží paralelami s důvěrně známými jevy jako jsou stín nebo déšť.

14.1.2019 v 9:17 | Karma článku: 28.70 | Přečteno: 1251 | Diskuse

Dana Tenzler

Chemie v garáži - jednorázová sádra a její recyklace

Proč se dá sádra použít jen jednou? Jak funguje tvrdnutí sádry? Dá se urychlit nebo zpomalit? Jak udělat ze sádry zajímavou hračku pro malé dětské výzkumníky. (délka blogu 5 min.)

14.1.2019 v 8:00 | Karma článku: 26.43 | Přečteno: 587 | Diskuse

Libor Čermák

Kdo všechno v dávnověku věděl o všech kontinentech?

Když jsem shlédl nejnovější díl Vetřelců dávnověku o Antarktidě, začal jsem si dávat dohromady, kdo vlastně všechno v dávných dobách věděl o všech pozemských kontinentech. Že by to skutečně nebyly jen novověké objevy?

13.1.2019 v 6:26 | Karma článku: 27.49 | Přečteno: 1365 |
Počet článků 9 Celková karma 0.00 Průměrná čtenost 1805

Jsem vývojář webových aplikací, matematik, skeptik, filosof, obhájce feminismu a lidských práv. Tedy slovy někoho jiného asociál, podivín, zmanipulovaná ovce, žvanil, podpantoflák a sluníčkář.

Najdete na iDNES.cz