Neděle 9. května 2021, svátek má Ctibor
  • schránka
  • Přihlásit Můj účet
  • Neděle 9. května 2021 Ctibor

K čemu mi někdy bude... 3. - Konečné posloupnosti a řady

10. 05. 2015 13:45:00
Ve třetí části tohoto nepravidelného seriálu o využití středoškolských znalostí matematiky se podíváme na konečné a nekonečné posloupnosti a řady, a možná zklameme některé naše humanitně zaměřené přátele. Potřebují to taky.

Existuje jedna rozsáhlá matematická disciplína, zvaná analýza časových řad, která má na klasických konečných posloupnostech a řadách postavené svoje základy. Její název je skutečně odpovídající - jde o zkoumání nějakých ukazatelů, které se v čase mění. To zahrnuje jak samotný popis té změny (např. pomocí meziročního přírůstku), tak nějaké nástroje pro odhadování budoucího vývoje (často slýcháme někoho hovořit o nějakém rostoucím trendu - ten trend analyzuje právě tato disciplína).

Je jasné, jaká jsou využití např. v ekonomii - pomocí údajů z předchozích let můžeme odhadovat budoucí vývoj na trhu, nebo na základě statistiky úrazů nastavit vhodnou cenu úrazového pojištění na další období. Nástroje pro to jsou poměrně málo spolehlivé nebo hodně komplikované, případně obojí, a právě umění použít vhodný nástroj ve správnou chvíli je často to, co tvoří rozdíl mezi úspěšným a neúspěšným ekonomem.

Ukažme si ale raději nějakou jednodušší ekonomickou aplikaci, se kterou se může koneckonců setkat každý z nás. V učebnicích často bývají zařazené (ale na některých školách se bohužel přeskakují) příklady typu "když budu spořit 2000 Kč měsíčně s měsíčním úrokem 0.5%, kolik budu mít naspořeno za 3 roky?" Kdybychom si to rozepsali a roznásobili, budeme mít 36 sčítanců, kde první se zúročí 35-krát a každý další o jedna méně, až se poslední nezúročí vůbec (protože jsme ho tam právě vložili). A to je součet geometrické posloupnosti, jenom je možná trošku matoucí, že je napsaná pozpátku. Po dosazení do vzorce zjistíme, že je to přibližně 2000 * (1.005^36 - 1) / 0.005 = 78 670 Kč, což nám dozajista pomůže se rozhodnout, jestli je pro nás takové spoření výhodné nebo ne.

Když jsem na začátku mluvil o humanitních oborech, měl jsem na mysli hlavně sociologii. I pro sociologa je důležité umět jak správně popsat předchozí, tak dobře odhadnout budoucí vývoj nějakého ukazatele. Například odhadnout, jak se bude měnit počet obyvatel obce v průběhu let, pokud se v ní neotevřou nové pracovní pozice nebo nedojde k nějaké větší změně. Na základě takového sociologického posudku může potom radnice podniknout nějaké kroky, nebo se rozhodnout, že očekávaný vývoj je vlastně celkem příznivý a že by se ty peníze mohly hodit spíš na něco jiného.

Spoustu podobných příkladů musí řešit také meteorologové (očividně), klimatologové, ale i třeba lékaři (resp. spíš kliničtí výzkumní pracovníci), když sledují pacientovu kondici a dlouhodobý vliv léčby na ni. Pro všechny ale platí stejné pravidlo - když se pokoušíme modelovat, jak se bude chovat něco tak složitého jako je počasí, společnost, trh, lidské tělo atp., tak přesnost modelu tím rychleji klesá, čím více do budoucnosti se snažíme něco odhadnout. Je to dané tím, že s rostoucím časem přichází více neočekávaných, dalo by se říct náhodných, vlivů.

Velice důležitým praktickým využitím konečných posloupností a řad jsou tedy různé časové řady, které se objevují napříč mnoha obory, a některé jednodušší finanční aplikace se mohou hodit každému, kdo nechce jenom věřit tomu, co mu říká finanční poradce o výhodnosti nebo nevýhodnosti konkurenčních nabídek, a chce si ve svých penězích sám udělat jasno.

V jednom z předchozích dílů jsem psal taky o Fourierových řadách a jejich využití např. při digitálním zpracování nebo generování zvuku, resp. obecně signálu. Po součtu aritmetické a geometrické posloupnosti je to další speciální druh řady, se kterým se mohou technicky orientovaní lidé setkat - ovšem už nejde o jen tak ledajaké číselné řady, Fourierovy řady jsou součty funkcí a pracuje se s nimi poměrně složitě.

Určitě jsem na spoustu důležitých věcí zapomněl, a nechť se čtenář nestydí podělit se o další aplikace v diskuzi, napadnou-li ho nějaké. No a k čemu ty nekonečné řady, limity a další "hlouposti"? To jsou teoretické věci, na kterých se potom zakládá celá obrovská teorie matematické analýzy, a její využití je tak široké a napříč různými obory, že o tom raději zase někdy příště, až si budu stěžovat, že už se na gymnáziích neučí derivace a integrály. :)

Autor: Pavel Zoubek | neděle 10.5.2015 13:45 | karma článku: 13.00 | přečteno: 1196x

Další články blogera

Tato rubrika neobsahuje žádné články...

Další články z rubriky Věda

Jan Řeháček

Matykání: kruhová inverze - brána do hyperbolické geometrie

Jedním z klasických geometrických zobrazení je kruhová inverze. Moderní počítačová technika ji sice pomalu vytlačuje ze školních osnov, ale pro studium hyperbolické geometrie má stále zásadní význam. Zejména v komplexní rovině.

9.5.2021 v 9:09 | Karma článku: 11.03 | Přečteno: 141 | Diskuse

Petr Bajnar

Stanou se z nás kyborgové?

Je tomu již více než 100 let, co Karel Čapek ve svém dramatu RUR z roku 1920 předpověděl příchod doby, kdy člověk vládnoucí Zemi bude nahrazen strojem.

9.5.2021 v 9:03 | Karma článku: 6.75 | Přečteno: 116 | Diskuse

Dana Tenzler

Jak chutná těžká voda?

Dá se rozlišit těžká voda od “běžné” vody podle chuti? Moderní věda přišla na kloub staré záhadě. A proč se neví, jak chutná supertěžká voda? (délka blogu 5 min.)

6.5.2021 v 8:00 | Karma článku: 29.00 | Přečteno: 688 | Diskuse

Karel Tejkal

Fermiho paradox a temná hmota

Fermiho paradox vyjadřuje podivení, že jsme dosud nenalezli stopu po mimozemské civilizaci. Nabízím jedno z možných vysvětlení.

5.5.2021 v 13:42 | Karma článku: 11.40 | Přečteno: 357 | Diskuse

Jan Fikáček

Měl Einstein pravdu, že je kvantová mechanika špatně?

Mezi lidmi běhá klišé, že Einstein nerozuměl kvantové mechanice, že ji popíral atd. Chcete vědět, jak to skutečně bylo?

5.5.2021 v 9:05 | Karma článku: 19.19 | Přečteno: 1127 | Diskuse
Počet článků 9 Celková karma 0.00 Průměrná čtenost 2245

Jsem vývojář webových aplikací, matematik, skeptik, filosof, obhájce feminismu a lidských práv. Tedy slovy někoho jiného asociál, podivín, zmanipulovaná ovce, žvanil, podpantoflák a sluníčkář.

Najdete na iDNES.cz